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2024年云南公務員考試行測技巧：一元二次函數求極值

發布：2024-03-07 11:07:57 字號：小 | 中 | 大

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云南省考行測數量關系技巧方法案例

一元二次函數求極值

　　很多考生在行測數量關系學習過程中可能都會接觸到這么一類看似熟悉但又陌生的問題——一元二次函數求極值。今天小編給大家介紹一下什么是一元二次函數?一元二次函數又該如何去求解極值?

　　一、什么是一元二次函數

　　一元二次函數的基本表示形式為y=ax2+bx+c(a≠0)。其圖像是一條對稱軸與y軸平行或重合于y軸的拋物線。當a>0時，函數圖像開口向上，此時y有最小值;當a<0時，函數圖像開口向下，此時y有最大值。

　　二、一元二次函數極值的求解方法

　　方法一：利用一元二次函數頂點公式求解

　　對于一元二次函數y=ax2+bx+c(a≠0)，其頂點坐標為

也就是當

　　方法二：利用“和定、差小、積大”求解

　　“和定、差小、積大”是指若兩個式子的和為定值，兩個式子間的差越小(最小為0)，則兩個式子的乘積越大。

　　下面我們通過兩個例題來看一下這兩種方法在解題時應該如何運用。

　　例1、某商品的進貨單價為80元，銷售單價為100元，每天可售出120件。已知銷售單價每降低1元，每天可多售出20件。若要實現該商品的銷售利潤最大化，則銷售單價應降低的金額是:

　　A.5元B.6元C.7元D.8元

　　【答案】C。解析：

　　方法一，設應降低x元，總利潤為y元。則降低后的銷售單價為(100-x)元，銷量為(120+20x)件，進貨單價為80元，則總利潤y=(100-x-80)×(120+20x)，整理可得y=-20x2+280x+2400，

y能取到最大值，故本題選C。

　　方法二，設應降低x元，總利潤為y元。則降低后的銷售單價為(100-x)元，銷量為(120+20x)件，進貨單價為80元，則總利潤y=(100-x-80)×(120+20x)=20×(20-x)×(6+x)，因為(20-x)+(6+x)=26，是定值，當且僅當20-x=6+x，即x=7時，y取最大值。故本題選C。

　　例2、某苗木公司準備出售一批苗木，如果每株以4元出售，可賣出20萬株，若苗木單價每提高0.4元，就會少賣10000株。那么，在最佳定價的情況下，該公司最大收入是多少萬元?

　　A.60 B.80 C.90 D.100

　　【答案】C。解析：

　　方法一，設苗木單價提高0.4x元，則可賣出(20-x)萬株，此時收入為y萬元，y=(4+0.4x)×(20-x)，整理可得y=-0.4x2+4x+80，此時函數最大值為

故本題選C。

　　方法二，設苗木單價提高0.4x元，則可賣出(20-x)萬株，此時收入為y萬元，y=(4+0.4x)×(20-x)=0.4(10+x)×(20-x)，因為(10+x)+(20-x)=30，是定值，故當且僅當10+x=20-x，即x=5時，y取最大值，收入最大為(4+0.4×5)×(20-5)=6×15=90萬元。故本題選C。

　　通過上面兩個例題，我們可以看到無論是采用一元二次函數的頂點公式還是采用“和定，差小，積大”的方法都可以解出題目。方法一需要我們將函數整理為一般式;方法二需要我們將函數整理成兩式相乘，且兩式未知數系數互為相反數的形式，之后再使兩式滿足“和定、差小”的條件。那么，對于方法各位考生可以選擇適合自己的，只要通過練習，達到順利解題的目的即可。