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2024年云南公務員考試行測技巧：極值問題之一元二次函數求極值

發布：2023-11-22 14:26:11 字號：小 | 中 | 大

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極值問題之一元二次函數求極值

　　極值問題是一類經常出現的考點，考查頗為靈活。其中，利用一元二次函數求極值的題目較為典型。提到一元二次函數大家應該都不陌生，我們都知道其函數圖像為一條拋物線，且開口可能向上也可能向下，當開口向上時，函數有極小值；當開口向下時，函數有極大值。

　　但不管是哪種情況，函數總是對稱的，所以必然會在對稱軸位置處取得極值。那么對稱軸怎么求呢?我們可以令函數等于0，得到函數圖像與x軸的兩個交點，利用函數圖像的對稱性，找到兩個交點的正中間值，即為對稱軸的位置。下面讓我們來一起做兩道題加深一下理解：

　　例1、廠家生產銷售某新型節能產品，產品生產成本是168元，銷售定價為238元，一位買家向該廠家預定了120件產品，并提出如果產品售價每降低2元，就多訂購8件。則該廠家在這筆交易中所能獲得的最大利潤是( )元。

　　A.17920

　　B.13920

　　C.10000

　　D.8400

　　【解析】C。由題目所給信息，我們知道所求為總利潤的最大值。又因為總利潤=單件利潤×銷售量，所以需要把單件的利潤以及銷售量分別表示出來。具體來看，每一件產品的利潤為238-168=70(元)，售價每降低2元，利潤也會跟著降低2元，所以在這不妨假設售價降低了x個2元，對應單件的利潤應表示為(70-2x)元；原銷售量為120件，并且售價每降低2元，銷售量就會增加8件，因此銷售量應表示為(120+8x)件。故總利潤為(70-2x)×(120+8x)元。所求為最大利潤，即這個函數的極大值。

　　在這里我們可以利用一元二次函數圖像的對稱性來求解，先讓函數的值等于0，即令：(70-2x)×(120+8x)=0，解得：x1=35或x2=-15。由其對稱性可知，x1和x2必關于對稱軸對稱，換言之，函數圖像的對稱軸正好位于x1和x2的正中間，即函數的對稱軸為X=[35+(-15)]/2=10也就是說當x=10時，能獲得最大利潤。代入原函數，最大利潤為(70-2×10)×(120+8×10)=10000(元)，故選C。

　　例2、某木苗公司準備出售一批木苗，如果每株以4元出售，可賣20萬株，若木苗單價每提高0.4元，就會少賣10000株。那么，在最佳定價的情況下，該公司的最大收入是多少萬元？

　　A.30

　　B.60

　　C.90

　　D.100

　　【解析】C。題目所求為最大收入，而收入=單價×銷售量，因此我們需要把單價和銷售量分別表示出來。先來看單價，單價為4元，設提高了x個0.4元，則單價=(4+0.4x)元;銷售量為20萬株，單價每提高0.4元，銷售量便減少1萬株，所以銷售量=(20-x)萬株。

　　因此收入=(4+0.4x)×(20-x)萬元，所求的收入最大值就是求這個一元二次函數的極大值。可以利用函數的對稱性來求解。令：(4+0.4x)×(20-x)=0，解得x1=-10或x2=20，由其對稱性可知，x1和x2必關于對稱軸對稱，則函數的對稱軸為X=[20+(-10)]/2=5，即當x=5時，收入最大，最大收入為(4+0.4×5)×(20-5)=90(萬元)，故選C。

　　以上就是關于一元二次函數求極值的題目，希望大家能夠借助上述題目把這個知識點搞懂、吃透。